Naked Statistics është libri më interesant për shkencën më të mërzitshme

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 04:10

Kush tha që statistikat janë një shkencë e mërzitshme dhe e padobishme? Charles Wheelan argumenton bindshëm se kjo është larg nga rasti. Sot botojmë një fragment nga libri i tij se si të fitosh një makinë, jo një dhi, duke përdorur statistika dhe kuptojmë se intuita mund t'ju mashtrojë.

Riddle Monty Hall

Mystery Monty Hall është një problem i famshëm në teorinë e probabilitetit që i hutoi pjesëmarrësit në një shfaqje loje të quajtur Let's Make a Deal, ende e njohur në disa vende, e cila u shfaq premierë në Shtetet e Bashkuara në 1963. (Më kujtohet sa herë e kam parë këtë shfaqje si fëmijë, kur nuk kam shkuar në shkollë për shkak të sëmundjes.) Në hyrje të librit, tashmë theksova se kjo shfaqje loje mund të jetë interesante për statisticienët. Në fund të çdo numri të saj, pjesëmarrësi që arriti në finale qëndronte me Monty Hall para tre dyerve të mëdha: Dera nr. 1, dera nr. 2 dhe dera nr. 3. Monty Hall i shpjegoi finalistit se pas një nga këto dyer ishte një çmim shumë i vlefshëm - për shembull një makinë e re dhe një dhi pas dy të tjerave. Finalisti duhej të zgjidhte njërën nga dyert dhe të merrte atë që ishte pas saj. (Nuk e di nëse kishte të paktën një person midis pjesëmarrësve në shfaqje që donte të merrte një dhi, por për hir të thjeshtësisë, do të supozojmë se shumica dërrmuese e pjesëmarrësve ëndërronin një makinë të re.)

Probabiliteti fillestar për të fituar është mjaft i lehtë për t'u përcaktuar. Ka tre dyer, dy fsheh një dhi, dhe e treta fsheh një makinë. Kur një pjesëmarrës në shfaqje qëndron para këtyre dyerve me Monty Hall, ai ka një nga tre shanset për të zgjedhur derën pas së cilës ndodhet makina. Por, siç u përmend më lart, ka një kapje në Let's Make a Deal që e përjetësoi këtë program televiziv dhe prezantuesin e tij në literaturën mbi teorinë e probabilitetit. Pasi finalisti i shfaqjes tregon njërën nga tre dyert, Monty Hall hap një nga dy dyert e mbetura, pas së cilës ka gjithmonë një dhi. Pastaj Monty Hall pyet finalistin nëse dëshiron të ndryshojë mendje, domethënë të braktisë derën e mbyllur të zgjedhur më parë në favor të një dere tjetër të mbyllur.

Le të themi, për hir të shembullit, se pjesëmarrësi tregoi me gisht nga dera # 1. Më pas Monty Hall hapi derën # 3, pas së cilës fshihej dhia. Dy dyer, Dera # 1 dhe Dera # 2, mbeten të mbyllura. Nëse çmimi i vlefshëm do të ishte pas derës nr.1, finalisti do ta kishte fituar dhe nëse do të ishte pas derës nr.2, atëherë do të kishte humbur. Pikërisht në këtë moment Monty Hall pyet lojtarin nëse dëshiron të ndryshojë zgjedhjen e tij fillestare (në këtë rast, të braktisë Derën # 1 në favor të Derës # 2). Sigurisht, do të mbani mend se të dyja dyert janë ende të mbyllura. I vetmi informacion i ri që mori pjesëmarrësi ishte se dhia përfundoi pas njërës nga dy dyert që ai nuk i zgjodhi.

A duhet që finalisti të braktisë zgjedhjen fillestare në favor të derës # 2?

Unë përgjigjem: po, duhet. Nëse ai i qëndron zgjedhjes origjinale, atëherë probabiliteti për të fituar një çmim të vlefshëm do të jetë ⅓; nëse ai ndryshon mendje dhe tregon derën nr. 2, atëherë probabiliteti për të fituar një çmim të vlefshëm do të jetë ⅔. Nëse nuk më besoni, lexoni.

E pranoj se kjo përgjigje nuk është aspak e dukshme në shikim të parë. Duket se cilado nga dy dyert e mbetura të zgjedhë finalisti, probabiliteti për të marrë një çmim të vlefshëm në të dyja rastet është ⅓. Ka tre dyer të mbyllura. Në fillim, probabiliteti që një çmim i vlefshëm të fshihet pas ndonjërit prej tyre është ⅓. A ka ndonjë ndryshim vendimi i finalistit për të ndryshuar zgjedhjen e tij në favor të një dere tjetër të mbyllur?

Sigurisht, pasi kapja është se Monty Hall e di se çfarë ka pas çdo dere. Nëse finalisti zgjedh derën # 1 dhe ka vërtet një makinë pas saj, Monty Hall mund të hapë derën # 2 ose derën # 3 për të zbuluar dhinë që fshihet pas saj.

Nëse finalisti zgjedh derën 1 dhe makina është pas derës 2, atëherë Monty Hall do të hapë Derën 3.

Nëse finalisti tregon derën 1 dhe makina është pas derës 3, atëherë Monty Hall do të hapë Derën 2.

Duke ndryshuar mendjen pasi prezantuesi hap njërën nga dyert, finalisti fiton avantazhin e zgjedhjes së dy dyerve në vend të njërës. Do të përpiqem t'ju bind për korrektësinë e kësaj analize në tre mënyra të ndryshme.

E para është empirike. Në vitin 2008, kolumnisti i New York Times John Tyerney shkroi për fenomenin Monty Hall. Pas kësaj, stafi i botimit zhvilloi një program interaktiv që ju lejon të luani këtë lojë dhe të vendosni në mënyrë të pavarur nëse do të ndryshoni zgjedhjen tuaj fillestare apo jo. (Programi parashikon edhe dhi të vogla dhe makina të vogla që shfaqen nga pas dyerve.) Programi regjistron fitimet tuaja në rast se ndryshoni zgjedhjen tuaj fillestare dhe në rastin kur nuk jeni të bindur. Pagova një nga vajzat e mia që ta luante këtë lojë 100 herë, duke ndryshuar zgjedhjen e saj origjinale çdo herë. Edhe vëllain e saj e pagova që ta luante lojën 100 herë, duke mbajtur çdo herë vendimin origjinal. Vajza fitoi 72 herë; vëllai i saj 33 herë. Çdo përpjekje u shpërblye me dy dollarë.

Dëshmitë nga episodet e lojës Let's Make a Deal tregojnë të njëjtin model. Sipas Leonard Mlodinov, autor i The Drunkard's Walk, ata finalistë që ndryshuan zgjedhjen e tyre fillestare kishin dy herë më shumë gjasa të fitonin se ata që nuk ishin të bindur.

Shpjegimi im i dytë për këtë fenomen bazohet në intuitën. Le të themi se rregullat e lojës kanë ndryshuar pak. Për shembull, finalisti fillon duke zgjedhur një nga tre dyert: Dera # 1, Dera # 2 dhe Dera # 3, siç ishte planifikuar fillimisht. Megjithatë, atëherë, përpara se të hapte ndonjë nga dyert, pas së cilës fshihet dhia, Monty Hall pyet: "A pranoni të hiqni dorë nga zgjedhja juaj në këmbim të hapjes së dy dyerve të mbetura?" Pra, nëse zgjodhët Derën # 1, mund të ndryshoni mendje në favor të Derës # 2 dhe Derës # 3. Nëse fillimisht e keni treguar derën # 3, mund të zgjidhni Derën # 1 dhe Derën # 2. E kështu me radhë.

Ky nuk do të ishte një vendim veçanërisht i vështirë për ju: është mjaft e qartë se duhet të hiqni dorë nga zgjedhja fillestare në favor të dy dyerve të mbetura, pasi kjo rrit shanset për të fituar nga ⅓ në ⅔. Gjëja më interesante është se është kjo, në thelb, që ju ofron Monty Hall në një lojë të vërtetë, pasi hapni derën pas së cilës fshihet dhia. Fakti themelor është se nëse do t'ju jepej mundësia të zgjidhni dy dyer, një dhi do të fshihej gjithsesi pas njërës prej tyre. Kur Monty Hall hap derën pas së cilës ndodhet dhia dhe vetëm atëherë ju pyet nëse jeni dakord të ndryshoni zgjedhjen tuaj fillestare, kjo rrit ndjeshëm shanset tuaja për të fituar një çmim të vlefshëm! Në thelb, Monty Hall po ju thotë: "Shanset që një çmim i vlefshëm të fshihet pas njërës prej dy dyerve që nuk keni zgjedhur herën e parë janë ⅔, që është akoma më shumë se ⅓!"

Mund ta imagjinoni kështu. Le të themi se ju treguat derën # 1. Pas kësaj, Monty Hall ju jep mundësinë të braktisni vendimin fillestar në favor të derës # 2 dhe derës # 3. Ju pranoni dhe keni dy dyer në dispozicionin tuaj, që do të thotë se keni çdo arsye prisni të fitoni një çmim të vlefshëm me një probabilitet prej ⅔, jo ⅓. Çfarë do të kishte ndodhur nëse në këtë moment Monty Hall do të kishte hapur derën 3 - një nga dyert "tuaj" - dhe do të kishte një dhi pas saj? A do ta trondiste ky fakt besimin tuaj në vendimin tuaj? Sigurisht që jo. Nëse makina fshihej pas derës 3, Monty Hall do të hapte Derën 2! Ai nuk do të të tregonte asgjë.

Kur loja luhet sipas një skenari të goditjes, Monty Hall ju jep vërtet një zgjedhje midis derës që specifikuat në fillim dhe dy dyerve të mbetura, njëra prej të cilave mund të jetë një makinë. Kur Monty Hall hap derën pas së cilës fshihet dhia, ai thjesht po ju bën një nder duke ju treguar se cila nga dy dyert e tjera nuk është makina. Ju keni të njëjtat probabilitete për të fituar në të dy skenarët e mëposhtëm.

1. Përzgjedhja e derës # 1, më pas pranimi i "kalimit" në derën # 2 dhe derën # 3 edhe para se të hapet ndonjë derë.
2. Zgjedhja e derës # 1, më pas pranimi i "kalimit" në derën # 2 pasi Monty Hall ju tregon dhinë pas derës # 3 (ose zgjedhni derën # 3 pasi Monty Hall ju tregon dhinë pas derës # 2).

Në të dyja rastet, braktisja e vendimit origjinal ju jep avantazhin e dy dyerve mbi një, dhe kështu mund të dyfishoni shanset tuaja për të fituar nga ⅓ në ⅔.

Opsioni im i tretë është një version më radikal i së njëjtës intuitë bazë. Le të themi se Monty Hall ju kërkon të zgjidhni një nga 100 dyert (në vend të njërës nga tre). Pasi ta bëni këtë, thoni duke treguar derën # 47, ai hap 98 dyert e mbetura, të cilat do të zbulojnë dhitë. Tani vetëm dy dyer mbeten të mbyllura: dera juaj nr. 47 dhe një tjetër, për shembull, dera nr. 61. A duhet të hiqni dorë nga zgjedhja juaj fillestare?

Sigurisht po! Ka 99 për qind mundësi që makina të jetë pas njërës prej dyerve që ju nuk e keni zgjedhur në fillim. Monty Hall ju bëri mirësjelljen duke hapur 98 nga këto dyer, pas tyre nuk kishte asnjë makinë. Kështu, ka vetëm 1 në 100 mundësi që zgjedhja juaj fillestare (Dera # 47) të jetë e saktë. Në të njëjtën kohë, ka një shans 99 nga 100 që zgjedhja juaj fillestare të jetë e gabuar. Nëse është kështu, atëherë makina ndodhet pas derës së mbetur, pra derës nr.61. Nëse dëshironi të luani me probabilitetin për të fituar 99 herë nga 100, atëherë duhet të "kaloni" në derën nr.61.

Shkurtimisht, nëse ndonjëherë duhet të luani Let's Make a Deal, patjetër që do t'ju duhet të tërhiqeni nga vendimi juaj fillestar kur Monty Hall (ose kushdo që do ta zëvendësojë atë) t'ju japë një zgjedhje. Një përfundim më universal nga ky shembull është se supozimet tuaja intuitive për gjasat e ngjarjeve të caktuara ndonjëherë mund t'ju mashtrojnë.